% do-vimlatex-onwrite
\documentclass[]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[alsoload=hep]{siunitx} % high energy physics
\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage[inline]{enumitem}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{hologo}
\usepackage[hidelinks,unicode]{hyperref}
\usepackage{datetime}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{multicol}
\usepackage{listings}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{csquotes}
\usepackage[siunitx,europeanresistors]{circuitikz}
\usepackage[makeroom]{cancel}
\usepackage[backend=biber,style=iso-authoryear,sortlocale=cs_CZ]{biblatex}
\addbibresource{dokument.bib}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{float}
\usepackage{tkz-euclide}
\newcommand{\functionSamples}{100} % fix to fancier value upon release, keep low during development
\sisetup{output-decimal-marker = {,}, quotient-mode=fraction, output-exponent-marker=\ensuremath{\mathrm{e}}} % per-mode=fraction/symbol
\settimeformat{hhmmsstime}
\makeatletter
\newcommand{\xslalph}[1]{\expandafter\@xslalph\csname c@#1\endcsname}
\newcommand{\@xslalph}[1]{%
	\ifcase#1\or a\or b\or c\or \v{c}\or d\or e\or f\or g\or h\or i%
	\or j\or k\or l\or m\or n\or o\or p\or r\or s\or \v{s}%
	\or t\or u\or v\or z\or \v{z}
	\else\@ctrerr\fi%
}
\AddEnumerateCounter{\xslalph}{\@xslalph}{m}
\makeatother
\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
\definecolor{codegray}{rgb}{0.5,0.5,0.5}
\definecolor{codepurple}{rgb}{0.58,0,0.82}
\definecolor{backcolour}{rgb}{0.95,0.95,0.92}
\lstdefinestyle{mystyle}{
    backgroundcolor=\color{backcolour},
    commentstyle=\color{codegreen},
    keywordstyle=\color{magenta},
    numberstyle=\tiny\color{codegray},
    stringstyle=\color{codepurple},
    basicstyle=\ttfamily\footnotesize,
    breakatwhitespace=false,
    breaklines=true,
    captionpos=b,
    keepspaces=true,
    numbers=left,
    numbersep=5pt,
    showspaces=false,
    showstringspaces=false,
    showtabs=false,
    tabsize=2
}
\lstset{style=mystyle}
\newcommand{\cm}[1]{
	\SI[parse-numbers=false]{#1}{\centi\meter}
}
\newcommand{\m}[1]{
	\SI[parse-numbers=false]{#1}{\meter}
}
\newcommand{\kvm}[1]{
	\SI[parse-numbers=false]{#1}{\meter\squared}
}
\newcommand{\kvcm}[1]{
	\SI[parse-numbers=false]{#1}{\centi\meter\squared}
}
\title{Poročilo: Magnetno polje Helmholtzove tuljave (23. naloga)}
\author{Anton Luka Šijanec, 3. a}
\date{V petek, 3. junija 2022}
\newcommand\vektor{\overrightarrow}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
	Poročilo merjenja magnetnega polja Helmholtzove tuljave vzdolž dveh geometrijskih osi in primerjave rezultatov s teoretično napovedjo pri fiziki na Gimnaziji Bežigrad.
\end{abstract}
\tableofcontents
\paragraph{Opomba} Uvod in teorija, z izjemo numerične obdelave, sta enaka kot v opisu projekta.
\section{Uvod}
Helmholtzova tuljava oziroma Helmholtzov par je poimenovana po nemškemu fiziku devetnajstega stoletja Hermannu Ludwigu Ferdinandu von Helmholtzu in predstavlja pripravo za izdelavo umetnega lahko dostopnega homogenega magnetnega polja visoke kvalitete. Solenoidi, torej dolge in ozke tuljave, pod električnim poljem sicer delajo kvalitetno, z vstavljenim feromagnetom tudi močno magnetno polje, vendar je le-to težko dostopno, saj se nahaja znotraj navojev. Helmholtzova tuljava pa je sestavljena iz dveh tokovnih zank oziroma magnetnih dipolov, to sta dve ravninsko vzporedni enaki kratki in široki med seboj za polmer oddaljeni tuljavi. Ob prisotnosti enako velikega in enako usmerjenega električnega toka v vodnikih se v sredini med njima pojavi veliko območje s homogenim magnetnim poljem, kar je uporabno za mnoge elektrotehnične probleme, denimo natančno kalibracijo merilnikov in nasprotovanje vplivu Zemljinega magnetnega polja na instrumente.

Maxwellova tuljava škotskega fizika Jamesa Clerka Maxwella je dodatek Helmholtzovi tuljavi. Z dodatnimi pravilno postavljenimi navitji za ceno dodatnega materiala in kompleksnosti dodatno poveča območje in homogenost magnetnega polja.
\section{Teorija}
Navodilo zahteva meritev in teoretično napoved vrednosti magnetnega polja na oseh tuljave. Če je radij $R$, število navojev $n$ in tok $I$, je jakost magnetnega polja $B$ na sredini
$$B=\left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}\frac{\mu_0nI}{R}\text{,}$$
kjer je $\mu_0$ indukcijska/magnetna konstanta.
($\SI{\pi4e-7}{\volt\second\per\ampere\per\meter}$).
\subsection{Razlaga enačbe}
\subsubsection{Biot-Savartov zakon}
Z Biot-Savartovim zakonom predstavimo vektor $B$ magnetnega polja, ki se pojavi zaradi stalnega električnega polja $I$ v vodniku na poti $C$. Predstavi relacijo magnetnega polja na jakost, smer, dolžino in bližino električnega toka z enačbo
$$B(r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_C\frac{Id\ell\times\hat{r}^\prime}{{|r^\prime|}^2}\text{,}$$
kjer je $d\ell$ vektor na poti elektronov $C$ (krožnica), katerega velikost je infinitezimalno majhen del vodnika v smeri električnega toka, $\ell$ je torej točka na $C$, $\hat{r}^\prime$ je enotski vektor (množen z obratno vrednostjo svoje velikosti --- $\hat{r}^\prime=r^\prime\cdot{|r^\prime|}^{-1}$) vektorja $r^\prime=r-\ell$ --- vektorja premika od vodnika ($d\ell$ oz. $\ell$) do točke $r$, katere vektor magnetnega polja želimo izračunati. Od prej je $\mu_0$ še vedno indukcijska/magnetna konstanta.

Čeprav se zakon povečini, kot v našem primeru, uporablja na zankah, v katerih teče električni tok, velja tudi za neskončno dolge vodnike. Na tak način je bil z Biot-Savartovim in Lorentzovim zakonom na primer do leta 2019 SI amper definiran kot konstantani tok, ki v vakuumu, ko teče po dveh eden od drugega za en meter oddaljenih vzporednih vodnikih neskončne dolžine z zanemarljivim premerom, povzroči nastanek sile $\SI{2e-7}{\newton}$ na vsak meter dolžine vodnika.
% \subsection{Polje v središču zanke} % TODO
\subsection{Polje na osi zanke skozi obe navitji}
% http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/curloo.html#c4
Biot-Savartov zakon poenostavimo in izračunamo vektorja $B$ za na osi zanke s polmerom $R$ vodnika, po katerem teče tok $I$, poljubno točko $T$, oddaljeno $z$ od središča zanke $S$.

Zanima nas samo z osjo vzporedna komponenta $B_z$ vektorja magnetnega polja, ker na os pravokotne komponente v homogenem polju sploh ne bo, ko bomo računali jakost polja znotraj Helmholtzove tuljave.

Kot med na os pravokotno in z osjo vzporedno komponento vektorja $B$ je enak kotu $(\ell,T,S)$. Torej je
$$\sin\theta=\frac{R}{r = \sqrt{z^2+R^2}} \wedge dB_Z=dB\sin\theta \Longrightarrow dB_Z=\frac{\mu_0Id\ell}{4\pi}\cdot\frac{R}{\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\text{.}$$
% http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/curloo.html#c3
Vse vrednosti, razen infinitezimale dolžine na zanki $d\ell$, so konstantne, integriranje $d\ell$ pa predstavlja obseg zanke $2\pi R$. Tako je velikost z osjo zanke vzporedne komponente vektorja magnetenega polja v točki $T$ izračunana z enačbo
$$B_Z=\frac{\mu_0I}{\cancelto{2}{4\pi}}\cdot\frac{\cancel{2\pi}R^2}{\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\text{.}$$
Ker so vse točke $d\ell$ na zanki enako oddaljene od točke $T$, je za točke $z$ na osi tuljav $B_Z(z)=B(z)$.
\subsubsection{Dodajanje zank}
Da dobimo enačbo za polje enega navitja Helmholtzove tuljave, enačbo za eno zanko preprosto zmnožimo s številom zank $n$:
$$B_1(z)=\frac{n\mu_0R^2I}{{2\left(z^2+R^2\right)}^{3/2}}\text{.}$$
Zanima nas taka vrednost $z$, ki je v središču med obema navitjema. To je, kot je zgoraj opisano, $z=R/2$:
$$B_1\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{n\mu_0R^2I}{2\left(\left(\frac{R}{2}\right)^2+R^2\right)^{3/2}}\text{.}$$
Jakost magnetnega polja med obema simetričnima navitjema je enaka dvakratniku $B_1$.
$$B\left(\frac{R}{2}\right)=2{B_1}_Z\left(\frac{R}{2}\right)=$$
$$=\frac{\cancel{2}n\mu_0R^2I}{\cancel{2}\left(\left(\frac{R}{2}\right)^2+R^2\right)^{3/2}}
=\frac{n\mu_0R^2I}{\left(\frac{1}{4}R^2+R^2\right)^{3/2}=\left(\frac{5}{4}R^2\right)^{3/2}}
=\left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}\frac{n\mu_0\cancel{R^2}I}{R\cancel{^3}}
=\left(\frac{8}{5\sqrt{5}}\right)\frac{n\mu I}{R}\text{.}$$
\subsection{Potreben tok za dosego željenega homogenega toka}
Zgornjo enačbo preuredimo v
$$I=\left(\frac{5}{4}\right)^{3/2}\left(\frac{BR}{\mu_0n}\right)\text{,}$$
kjer je $\mu_0$ malo drugače zapisana ista indukcijska/magnetna konstanta ($=\SI{\pi4e-7}{\tesla\meter\per\ampere}$), in s tem izračunamo potreben tok za stalno homogeno magnetno polje v središču tuljave.
% \subsection{Izmenična napetost} % TODO
% Napajanje tuljave za dosego željenega stalnega magnetnega polja je torej preprosto, saj bo magnetno polje v vseh točkah linearno raslo s tokom skozi obe tuljavi, malo težje pa je izdelati nihajoče magnetno polje, saj je tuljava induktor, čigar impedanca se z višanjem frekvence veča, torej je za dosego enake jakosti magnetnega polja na dvakrat višji frekvenci potrebna dvakrat višja napetost na navitjih.
\subsection{Polje na simetrijski osi}
% Polje na simetrijski osi je bilo težko izračunati, zato sem uporabil vnaprej integrirano enačbo iz dopolnila k projektni nalogi:
% $$
% B\left(z\right)=\frac{\mu_0NIR^2}{2}\left[
% 	\left(R^2+\left(z-\frac{R}{2}\right)^2\right)^{\displaystyle-\frac{3}{2}}
% 	+
% 	\left(R^2+\left(z+\frac{R}{2}\right)^2\right)^{\displaystyle-\frac{3}{2}}
% \right]
% $$
Druge osi nisem znal izračunati, zato bom teoretično napoved izračunal numerično - predstavljal si bom, da je namesto okrogle zanke tam mnogokotnik in uporabil Biot-Savartov zakon v iteraciji z računalnikom.
\subsection{Grafi}
Kot primer vzemimo šolsko Helmholzovo tuljavo s 320 navoji na vsakem navitju, katerega radij je enak $\SI{6,8}{\centi\meter}$, skozi katera teče stalen enosmerni tok \SI{250}{\milli\ampere}.

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[legend style={at={(1.2,1)}}, anchor=north west,
ylabel = {jakost magnetnega polja},
xlabel = {razdalja na osi},
x = 21cm
]
\addplot gnuplot [raw gnuplot, id=test, mark=none]{
m = pi*4e-7;
R = 0.068;
N = 320;
I = 0.25;
plot [-3*R:3*R] N*m*R**2*I/(2*((x-R/2)**2+R**2)**(3/2));
};
\addlegendentry{os skozi središči navitij (L)}
\addplot gnuplot [raw gnuplot, id=test, mark=none]{
m = pi*4e-7;
R = 0.068;
N = 320;
I = 0.25;
plot [-3*R:3*R] N*m*R**2*I/(2*((x+R/2)**2+R**2)**(3/2));
};
\addlegendentry{os skozi središči navitij (D)}
\addplot gnuplot [raw gnuplot, id=test, mark=none]{
m = pi*4e-7;
R = 0.068;
N = 320;
I = 0.25;
plot [-3*R:3*R] N*m*R**2*I/(2*((x-R/2)**2+R**2)**(3/2)) + N*m*R**2*I/(2*((x+R/2)**2+R**2)**(3/2));
};
\addlegendentry{os skozi središči navitij (L+D)}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\subsection{Numerična analiza}
Numerična analiza je preprosta; namesto zanke v obliki kroga seštejemo vrednosti na odsekih vodnika, ki predstavlja mnogokotnik v 3D prostoru. Program za numerično analizo je priložen dokumentu in, v kolikor generira za mojo eksperimentalno tuljavo (\texttt{./numerično.c 0.088 3 17 0.0002 1000 30 pgm > izhod.pgm}), izdela sledeč graf:

\begin{figure}[H]
\center
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{out.png}
\caption{Teoretični model tuljave}
\end{figure}
\section{Praktične meritve}
Kot je napisano v opisu projekta, sem uporabil TDKjev MPU9250 merilnik in mikrokrmilnik Espressif 8266, ki je vsakih nekaj milisekund izmeril absolutno jakost magnetnega polja. Za določanje pozicije merilnika ob danem času sem uporabil funkcijo \textit{Motion Tracking} v programu Blender. Korelacija podatkov iz dveh virov s stališča fizike ni pomembna, vendar je vseeno bežno opisana v predstavitvi.

		\begin{circuitikz} \draw
			(0,0) to[battery] (0,4)
			to[ammeter, l_=3<\ampere>] (4,4) to[resistor=1.65<\ohm>] (4,0)
			to[cute inductor] (0,0)
			;
		\end{circuitikz}

\subsection{Pripomočki}

\begin{itemize}
	\item \SI{3}{\ampere} \SI{5}{\volt} napajalnik
	\item štirje \SI{10}{\watt} \SI{2,2}{\ohm} uporniki za nadomestno upornost vsaj \SI{1,65}{\ohm} in zmožnost porabe \SI{20}{\watt} -- v resnici je bila teoretična poraba \SI{15}{\volt\ampere}
	\item lakirana bakrena žica za navitji s polmerom \SI{8,8}{\centi\meter}, pridobljena iz toroidnega transformatorja
	\item kamera prenosnega telefona za videoanalizo
	\item Hallov merilnik mangnetnega polja
\end{itemize}

\subsection{Opis rezultatov}

Dobil sem tabelo s 24553 vrsticami. Opravil sem osem uspelih meritev, od tega tri na troamperskem toku, pet pa na dvoamperskem toku. Tabeli meritev sta dostopni na \url{http://git.sijanec.eu/sijanec/sola-gimb-3/src/branch/master/fiz/naloga/relacije}.


\subsection{Slike grafov rezultatov}
\begin{figure}[H]
	\center
	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{3A.png}
	\caption{Graf magnetnega polja v odvisnosti od pozicije pri triamperskem toku}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
	\center
	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2A.png}
	\caption{Graf magnetnega polja v odvisnosti od pozicije pri dvoamperskem toku}
\end{figure}

\subsection{Primerjava s teoretično napovedjo}
Podatke sem uvozil v LoggerPro in izdelal prilagoditveno krivuljo. Iz meritev sem izluščil najprej centimeterski in nato še milimetrski pas okoli osi.

\begin{figure}[H]
	\center
	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1cm.png}
	\caption{Grafa meritev in prilagoditvene krivulje, če je pas centimetrski}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
	\center
	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1mm.png}
	\caption{Grafa meritev in prilagoditvene krivulje, če je pas milimetrski}
\end{figure}

\section{Viri}
\nocite{*}
\printbibliography[title={Internetni viri}]
\section{Zaključek}
Prilagoditvena krivulja v programu LoggerPro je ustrezno natančna.
% https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_coil
% http://lbm.fe.uni-lj.si/oe/OE2/LabVaja/Priprave%20za%201VAJO%20OE2%20V2.docx
% https://en.wikipedia.org/wiki/Biot%E2%80%93Savart_law
% https://sl.wikipedia.org/wiki/Infinitezimala
% https://sl.wikipedia.org/wiki/Hermann_Ludwig_Ferdinand_von_Helmholtz
% https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force
% http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/Biosav.html#c1
% https://en.wikipedia.org/wiki/Ampere#Former_definition_in_the_SI
\section{Priloge}
\subsection{Program za teoretičen izris magnetnega polja okoli tuljave}
Animaciji dveh tuljav, ki se premikata po prostoru: \url{http://video.arnes.si/?q=helmholtz}. Ena je izdelana s hitrejšim programom (in večjim, da ga res nima smisla vključevati v dokument) v OpenGL, druga pa s tem programom.
\lstinputlisting{numerično.c}
\end{document}
