#LyX 2.4 created this file. For more info see https://www.lyx.org/
\lyxformat 620
\begin_document
\begin_header
\save_transient_properties true
\origin unavailable
\textclass article
\begin_preamble
\usepackage{hyperref}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{listings}
\usepackage{multicol}
\sisetup{output-decimal-marker = {,}, quotient-mode=fraction, output-exponent-marker=\ensuremath{\mathrm{3}}}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}
\newcommand{\udensdash}[1]{%
    \tikz[baseline=(todotted.base)]{
        \node[inner sep=1pt,outer sep=0pt] (todotted) {#1};
        \draw[densely dashed] (todotted.south west) -- (todotted.south east);
    }%
}%
\DeclareMathOperator{\Lin}{Lin}
\DeclareMathOperator{\rang}{rang}
\DeclareMathOperator{\sled}{sled}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\red}{red}
\DeclareMathOperator{\karakteristika}{char}
\usepackage{algorithm,algpseudocode}
\providecommand{\corollaryname}{Posledica}
\end_preamble
\use_default_options true
\begin_modules
enumitem
theorems-ams
\end_modules
\maintain_unincluded_children no
\language slovene
\language_package default
\inputencoding auto-legacy
\fontencoding auto
\font_roman "default" "default"
\font_sans "default" "default"
\font_typewriter "default" "default"
\font_math "auto" "auto"
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_roman_osf false
\font_sans_osf false
\font_typewriter_osf false
\font_sf_scale 100 100
\font_tt_scale 100 100
\use_microtype false
\use_dash_ligatures true
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry true
\use_package amsmath 1
\use_package amssymb 1
\use_package cancel 1
\use_package esint 1
\use_package mathdots 1
\use_package mathtools 1
\use_package mhchem 1
\use_package stackrel 1
\use_package stmaryrd 1
\use_package undertilde 1
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\biblio_style plain
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification false
\use_refstyle 1
\use_formatted_ref 0
\use_minted 0
\use_lineno 0
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\leftmargin 2cm
\topmargin 2cm
\rightmargin 2cm
\bottommargin 2cm
\headheight 2cm
\headsep 2cm
\footskip 1cm
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\is_math_indent 0
\math_numbering_side default
\quotes_style german
\dynamic_quotes 0
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tablestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\change_bars false
\postpone_fragile_content false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\docbook_table_output 0
\docbook_mathml_prefix 1
\end_header

\begin_body

\begin_layout Title
ANA2 IŠRM 2023/24
\end_layout

\begin_layout Author

\noun on
Anton Luka Šijanec
\end_layout

\begin_layout Date
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
today
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Množice v 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Definition*
Razdalja točk v 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 je norma njune razlike.
 
\begin_inset Formula $\varepsilon-$
\end_inset

okolica točke 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 so take točke,
 ki so od 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 oddaljene manj od 
\begin_inset Formula $\varepsilon\in\mathbb{R}$
\end_inset

.
 Robna točka množice 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 je taka točka,
 katere poljubno majhna okolica vsebuje tako točke iz 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 kot tudi točke,
 ki niso iz 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Odprta množica ne vsebuje robnih točk.
 Zaprta množica je komplement neke odprte množice.
\end_layout

\begin_layout Claim*
\begin_inset Formula $A\subset\mathbb{R}$
\end_inset

 zaprta 
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset

 za vsako zaporedje s členi v 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 velja,
 da so vsa njegova stekališča,
 čim obstajajo,
 v 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
Dokazujemo ekvivalenco
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Description
\begin_inset Formula $\left(\Rightarrow\right)$
\end_inset

 Naj bo 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 stekališče 
\begin_inset Formula $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

,
 
\begin_inset Formula $a_{n}\in A$
\end_inset

 in 
\begin_inset Formula $s\not\in A$
\end_inset

 (RAAPDD).
 Ker je 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 zaprta,
 je 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}\setminus A$
\end_inset

 odprta,
 zato 
\begin_inset Formula $\exists\varepsilon>0\ni:\left(s-\varepsilon,s+\varepsilon\right)\subset\mathbb{R}\setminus A$
\end_inset

,
 torej v 
\begin_inset Formula $\left(s-\varepsilon,s+\varepsilon\right)$
\end_inset

 ni nobenega člena zaporedja,
 torej 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 ni stekališče 
\begin_inset Formula $\rightarrow\!\leftarrow$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $\left(\Leftarrow\right)$
\end_inset

 Dokazujemo,
 da je 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 zaprta,
 torej,
 da je 
\begin_inset Formula $B=\mathbb{R}\setminus A$
\end_inset

 odprta.
 PDDRAA 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 ni odprta 
\begin_inset Formula $\Rightarrow\exists x\in B\ni:\forall n\in\mathbb{N}:$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $n^{-1}-$
\end_inset

okolica 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 vsebuje nek element 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Našli smo torej zaporedje v 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 s stekališčem v 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\rightarrow\!\leftarrow$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Definition*
Stroga podmnožica 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 je kompaktna,
 če ima vsako zaporedje s členi v njej v njej tudi stekališče.
 Množica je omejena,
 če je podmnožica neke okolice izhodišča.
\end_layout

\begin_layout Theorem*
\begin_inset Formula $A\subset\mathbb{R}$
\end_inset

 kompaktna 
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow A$
\end_inset

 zaprta in omejena.
\end_layout

\begin_layout Proof
Dokazujemo ekvivalenco
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $\left(\Leftarrow\right)$
\end_inset

 Naj bo 
\begin_inset Formula $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 zaporedje v 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Ker je 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 omejena,
 je zaporedje omejeno,
 torej premore stekališča.
 Ker je 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 zaprta,
 vsebuje vsa ta stekališča.
 Torej je 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 kompaktna.
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $\left(\Rightarrow\right)$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 je omejeno,
 sicer bi našli zaporedje,
 da velja 
\begin_inset Formula $a_{i}\geq i$
\end_inset

,
 ki nima stekališča.
 Treba je dokazati še,
 da je 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 zaprta.
 Vsa stekališča zaporedij s členi v 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 imajo v 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 stekališče (kompaktnost).
 Torej za vsako stekališče zaporedja s členi v 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 velja,
 da ima v 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 stekališče,
 torej je 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 zaprta.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Remark*
Vsako zaporedje v kompaktni množici ima stekališče,
 kar za zaprto množico ni rečeno.
 Zaprta množica lahko vsebuje zaporedja brez stekališč.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
razloži normo,
 trikotniško neenakost,
 itd.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Definition*
Točka 
\begin_inset Formula $a\in A\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 je notranja,
 če obstaja neka njena okolica,
 ki je podmnožica 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Točka 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 je stekališče množice 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

,
 če vsaka njena okolica seka
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
t.
 j.
 ima neprazen presek z
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Formula $A\setminus\left\{ a\right\} $
\end_inset

.
 Točka 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

,
 ki ni stekališče 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

,
 je izolirana točka 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator plain
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Definition*
Zaporedje s členi v 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{k}$
\end_inset

 je funkcija 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}\to\mathbb{R}^{k}$
\end_inset

,
 
\begin_inset Formula $n\mapsto a_{n}=\left(a_{n}^{\left(1\right)},\dots,a_{n}^{\left(k\right)}\right)$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}^{k}$
\end_inset

 je limita zaporedja 
\begin_inset Formula $\left(a_{n}\right)_{n}$
\end_inset

 s členi v 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{k}$
\end_inset

,
 če 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0\exists n_{0}\in\mathbb{N}\forall n>n_{0}:\left|a-a_{n}\right|<\varepsilon$
\end_inset

 in pišemo 
\begin_inset Formula $a=\lim_{n\to\infty}a_{n}$
\end_inset

.
 Če zaporedje ima limito,
 je konvergentno,
 sicer je divergentno.
 Točka 
\begin_inset Formula $s\in\mathbb{R}^{k}$
\end_inset

 je stekališče zaporedja 
\begin_inset Formula $\left(a_{n}\right)_{n}$
\end_inset

 s členi v 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{k}$
\end_inset

,
 če je v vsaki okolici 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 neskončno členov 
\begin_inset Formula $\left(a_{n}\right)_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Fact*
Velja:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
Vsako konvergentno zaporedje je omejeno in ima natanko eno limito,
 ki je njegovo edino stekališče.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Vsako omejeno zaporedje ima stekališče.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Stekališče zaporedja je limita nekega podzaporedja in obratno.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $A\subset\mathbb{R}^{k}$
\end_inset

 je zaprta 
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset

 vsako stekališče zaporedja s členi v 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 leži v 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Section
Funkcije več spremenljivk
\end_layout

\begin_layout Definition*
Naj bo 
\begin_inset Formula $D\subseteq\mathbb{R}^{k}$
\end_inset

 in 
\begin_inset Formula $f:D\to\mathbb{R}$
\end_inset

 preslikava.
 Če je 
\begin_inset Formula $k\geq2$
\end_inset

,
 je 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 funkcija več spremenljivk.
 
\begin_inset Formula $\Gamma_{f}=\left\{ \left(x,fx\right);x\in D\right\} \subset\mathbb{R}^{k}\times\mathbb{R}$
\end_inset

 je graf funkcije 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Za 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}^{k}$
\end_inset

 stekališče 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 je 
\begin_inset Formula $L\in\mathbb{R}$
\end_inset

 limita 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 v 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

,
 če 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0\exists\delta=\delta\left(a,\varepsilon\right)>0\forall x\in D,x\not=a:\left|\left|x-a\right|\right|<\delta\Rightarrow\left|fx-L\right|<\varepsilon$
\end_inset

 in pišemo 
\begin_inset Formula $\lim_{x\to a}fx=L$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Remark*
Medtem ko imamo pri funkcijah ene spremenljivke levo in desno limito,
 je tu obnašanje bolj zapleteno,
 saj obstaja veliko različnih načinov približevanja k 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Definition*
Naj bo 
\begin_inset Formula $D\subseteq\mathbb{R}^{k}$
\end_inset

 in 
\begin_inset Formula $f:D\to\mathbb{R}$
\end_inset

 funkcija in 
\begin_inset Formula $a\in D$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 je zvezna v 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

,
 če 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0\exists\delta=\delta\left(a,\varepsilon\right)>0\forall x\in D:\left|\left|x-a\right|\right|<\delta\Rightarrow\left|fx-fa\right|<\varepsilon$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 je zvezna,
 če je zvezna na vsaki točki svojega definicijskega območja.
\end_layout

\begin_layout Remark*
Če je 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 stekališče 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

,
 je 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 zvezna v 
\begin_inset Formula $a\Leftrightarrow\lim_{x\to a}fx=fa$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Corollary*
Če je 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 izolirana točka 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

,
 je 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 zvezna v 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Definition*
Naj bo 
\begin_inset Formula $f:D\subseteq\mathbb{R}^{k}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 funkcija,
 
\begin_inset Formula $Z=fD$
\end_inset

 njena zaloga vrednosti in 
\begin_inset Formula $g:Z\to\mathbb{R}$
\end_inset

 funkcija.
 Kompozitum ali sestavljena funkcija 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 in 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 je funkcija 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 spremenljivk 
\begin_inset Formula $g\circ f:D\to\mathbb{R}$
\end_inset

,
 definirana s predpisom 
\begin_inset Formula $\left(g\circ f\right)x=gfx$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Theorem*
Naj bo 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 funkcija 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 spremenljivk,
 zvezna v 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}^{k}$
\end_inset

 in 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 funkcija ene spremenljivke,
 zvezna v 
\begin_inset Formula $fa\in\mathbb{R}$
\end_inset

.
 Tedaj je 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 zvezna v 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
Izberimo poljuben 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document